آیا نقطه C(۳, -۷) روی عمودمنصف پاره‌خط واصل دو نقطه A(۱,۴) و B(-۷, ۲-) قرار دارد؟

خب، بریم سراغ حل این مسئله‌ی ریاضی. اول از همه، باید ببینیم سوال چی می‌خواد و بعد قدم به قدم جلو بریم.

اول یه نگاهی به اسم‌ها بندازیم:

• نقطه: یه جایی روی کاغذ یا توی فضا که با یه اسم (مثل A، B، C) نشونش می‌دیم.
• پاره‌خط: یه خط که دو تا نقطه رو به هم وصل می‌کنه. مثل یه تیکه نخ که دو سرش رو گرفتیم.
• عمودمنصف: یه خط که از وسط پاره‌خط رد میشه و باهاش زاویه ۹۰ درجه (یعنی یه زاویه‌ی قائمه) داره. تصور کن یه تیکه کاغذ داری، روش یه خط می‌کشی، بعد از وسط اون خط یه خط دیگه می‌کشی که عمود باشه (یعنی زاویه قائمه داشته باشه).
• واصل: یعنی فاصله بین دو نقطه.

حالا سوال چی میگه؟ سوال میگه یه پاره‌خط داریم که دو سرش نقاط A و B هستن. بعد یه نقطه‌ی دیگه به اسم C داریم. می‌خواد بدونه نقطه‌ی C روی عمودمنصف پاره‌خط AB قرار داره یا نه.

برای اینکه بفهمیم نقطه‌ی C روی عمودمنصف AB قرار داره، باید چند تا کار انجام بدیم:

1. اول باید وسط پاره‌خط AB رو پیدا کنیم.
2. بعد باید شیب پاره‌خط AB رو حساب کنیم.
3. بعد باید شیب عمودمنصف رو حساب کنیم (شیب عمودمنصف، منفی معکوس شیب پاره‌خط AB هست).
4. بعد باید معادله‌ی عمودمنصف رو بنویسیم.
5. در نهایت باید ببینیم نقطه‌ی C توی معادله‌ی عمودمنصف صدق می‌کنه یا نه. اگه صدق کنه، یعنی نقطه‌ی C روی عمودمنصف قرار داره.

خب، بریم سراغ مرحله‌ی اول:

پیدا کردن وسط پاره‌خط AB.

برای پیدا کردن وسط یه پاره‌خط، باید مختصات دو سرش رو با هم جمع کنیم و تقسیم بر ۲ کنیم. مختصات نقطه A میشه (۱, ۴) و مختصات نقطه B میشه (-۷, -۲).

حالا جمع می‌کنیم:

• x = (۱ + (-۷)) / ۲ = -۶ / ۲ = -۳
• y = (۴ + (-۲)) / ۲ = ۲ / ۲ = ۱

پس وسط پاره‌خط AB نقطه‌ای با مختصات (-۳, ۱) هست.

حالا بریم سراغ مرحله‌ی دوم:

حساب کردن شیب پاره‌خط AB.

شیب یه خط نشون میده که اون خط چقدر تند یا کند بالا میره. برای حساب کردن شیب، از فرمول زیر استفاده می‌کنیم:

شیب = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)

که در اینجا (x₁, y₁) مختصات نقطه‌ی A و (x₂, y₂) مختصات نقطه‌ی B هستن.

حالا جایگذاری می‌کنیم:

شیب AB = (-۲ - ۴) / (-۷ - ۱) = -۶ / -۸ = ۳/۴

پس شیب پاره‌خط AB میشه ۳/۴.

حالا بریم سراغ مرحله‌ی سوم:

حساب کردن شیب عمودمنصف.

همونطور که گفتیم، شیب عمودمنصف منفی معکوس شیب پاره‌خط AB هست. یعنی:

شیب عمودمنصف = -۱ / (شیب AB) = -۱ / (۳/۴) = -۴/۳

پس شیب عمودمنصف میشه -۴/۳.

حالا بریم سراغ مرحله‌ی چهارم:

نوشتن معادله‌ی عمودمنصف.

برای نوشتن معادله‌ی یه خط، به شیب و یه نقطه روی اون خط نیاز داریم. ما شیب عمودمنصف رو داریم (-۴/۳) و یه نقطه روی اون هم داریم (وسط پاره‌خط AB که مختصاتش (-۳, ۱) هست).

از فرمول نقطه‌شیب استفاده می‌کنیم:

y - y₁ = m(x - x₁)

که در اینجا m شیب خط و (x₁, y₁) مختصات یه نقطه روی اون خط هست.

حالا جایگذاری می‌کنیم:

y - ۱ = (-۴/۳)(x - (-۳))

y - ۱ = (-۴/۳)(x + ۳)

y - ۱ = (-۴/۳)x - ۴

y = (-۴/۳)x - ۳

پس معادله‌ی عمودمنصف میشه y = (-۴/۳)x - ۳.

حالا بریم سراغ مرحله‌ی پنجم:

بررسی اینکه نقطه‌ی C روی عمودمنصف قرار داره یا نه.

برای این کار، مختصات نقطه‌ی C (که ۳, -۷ هست) رو توی معادله‌ی عمودمنصف جایگذاری می‌کنیم:

-۷ = (-۴/۳)(۳) - ۳

-۷ = -۴ - ۳

-۷ = -۷

خب، دیدیم که معادله درست شد. یعنی نقطه‌ی C روی عمودمنصف پاره‌خط AB قرار داره.